以下是公式们。

公式

两角差与和的余弦公式

$$ C_{\alpha-\beta}=\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\\ C_{\alpha+\beta}=\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\\ S_{\alpha+\beta}=\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta+cos\alpha\sin\beta\\ S_{\alpha+\beta}=\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta $$

辅助角公式

以下，$a\in(0,\infty),b\in(0,\infty),\tan\phi=\cfrac ba,\phi\in(0,\cfrac{\pi}{2})$。

$$ y=a\sin x\pm b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x\pm\phi)\\ y=a\cos x\pm b\sin x=\sqrt{a^2+b^2}\cos(x\mp\phi) $$

公式推导

以下，设$\alpha$的终边是$OP$，$\beta$的终边是$OQ$。

$$ \begin{align} \cos(\alpha-\beta)&=\cos\theta\\ & =\cfrac{\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ}}{\mid\overrightarrow{OP}\mid\cdot\mid\overrightarrow{OQ}\mid}\\&=\cfrac{\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta}1\\&=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta \end{align} $$

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Last modification：March 11, 2020
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