导数

例一

已知函数 $f(x)=x \sin x+2 \cos x+a x^{2}$,记 $f(x)$ 的导函数为 $f'(x)$,并定义

$$ \max \left\{a, b\right\}=\begin{cases}a &a\gt b\\b &a\leq b\end{cases} $$

  • 当 $a=0$ 时,求证: $f(x)$ 在 $[-\pi,\pi]$ 有且只有两个零点。
  • $\forall x_{1}, x_{2} \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right], \quad x_{1} \neq x_{2}, \cfrac{f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)}{x_{1}-x_{2}}\lt\max \left\{f^{\prime}\left(x_{1}\right), f^{\prime}\left(x_{2}\right)\right\}$,试求 $a$ 的范围。

解析

第一问考察零点存在性定理及其推论,所以直接代入求导即可。

第二问本意为考察拉格朗日中值定理1,但是可以使用定积分的集合意义绕过。

第一问参考答案

当$a=0$时,$f'(x)=x\cos(x)-\sin(x)$,$f''(x)=-x\sin(x)$,

$\because x \in [-\pi,\pi]$

$\therefore f''(x)\leq 0$

$\therefore f'(x)\swarrow$

所以$f(x)$的增减性如下表。

$x$$(-\infty,0)$$(0,+\infty)$
$f'(x)$$+$$-$
$f(x)$$\nearrow$$\searrow$

$\because f(0)=2 \gt0 ,f(\pi)=f(-\pi)=-2\lt0$

$\therefore \exists x_0 \in (-\pi,0),x_1 \in (0,\pi),s.t. f(x_0)=f(x_1)=0\square$

QED 是拉丁词组「Quod Erat Demonstrandum」(这就是所要证明的)的缩写,代表证明完毕。现在的 QED 符号通常是$\square$或者$\blacksquare$,也可书写为「Q.E.D」。

参考图像

第二问参考答案(定积分做法)

$f(x)=x\sin x+2\cos x+ax^2$
$f'(x)=x\cos x-\sin x+2ax$
$f''(x)=-x\sin x+2a$

不妨设$x_1\gt x_2$。

  • 当$f'(x)\searrow$时。

$\because f(x_1)-f(x_2)=\int^{x_2}_{x_1}f'(x)\rm{dx}\lt f'(x_2)\cdot (x_1-x_2)$
$\therefore \cfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}\lt f'(x_1)$
$\because f'(x)\searrow,x_1\gt x_2$
$\therefore \max\left\{f'(x_1),f'(x_2)\right\}=f'(x_1)$
$\therefore\cfrac{f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)}{x_{1}-x_{2}}\lt\max \left\{f^{\prime}\left(x_{1}\right), f^{\prime}\left(x_{2}\right)\right\}\square$

此时,$f''(x)=-x\sin x+2a\lt0\Rightarrow a\in(-\infty,0]$。

  • 当$f'(x)$先增后减时。

令$f'(x_1)=f'(x_2)$。此时$f(x_1)-f(x_2)=\int^{x_2}_{x_1}f'(x)\rm{dx}\geq f'(x_2)\cdot (x_1-x_2)$,与题设矛盾,故舍去。

  • 当$f'(x)\nearrow$时。

$\because f(x_1)-f(x_2)=\int^{x_2}_{x_1}f'(x)\rm{dx}\lt f'(x_1)\cdot (x_1-x_2)$
$\therefore \cfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}\lt f'(x_1)$
$\because f'(x)\nearrow,x_1\gt x_2$
$\therefore \max\left\{f'(x_1),f'(x_2)\right\}=f'(x_2)$
$\therefore\cfrac{f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)}{x_{1}-x_{2}}\lt\max \left\{f^{\prime}\left(x_{1}\right), f^{\prime}\left(x_{2}\right)\right\}\square$

此时,$f''(x)=-x\sin x+2a\gt0\Rightarrow a\in[\cfrac{\pi}4,+\infty)$。

综上所述,$a\in (-\infty,0]\bigcup[\cfrac{\pi}4,+\infty)$。

例二

已知等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$,且 $a_3=3,S_{100}=5050$。

  • 试求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式;
  • 设数列 $\left\{b_n\right\}$ 满足 $lg\left(\cfrac{1}{1-b_n}\right)=a_n$,求证:$\forall\varepsilon>0, \exists N\in\mathbb{N^*},s.t. \forall n \gt N, \left|b_n-1\right|<\varepsilon$

例三

设 $f(x)=\mathrm{e}^{x}-\ln \sqrt{1+x}$。

  • 若 $x=0$ 是 $g(x)=f(x)-a x^{2}-\cfrac{1}{2} x$ 的极小值点,试求 $a$ 的取值范围。
  • 设 $a,b\in\mathbb{R}\wedge a\not= b,s.t.f(a)=f(b)=m$,求证:$\left|a-b\right|\lt\cfrac23\sqrt{12m-11}$。

例四

设 $f(x)=\cfrac12x^2\ln x-\cfrac14x^2-ax$。

  • 求证:$a \gt 0$ 时,$f(x)$ 在区间 $\left(1,+\infty\right)$ 上存在唯一极小值点。
  • 若 $f(x)$ 有且只有两个零点,试求 $a$ 的取值范围。

立体几何

例五

如图,在四面体 $ABCD$ 中,有 $AC\perp\text{平面}BCD,BD\perp CD$。

  • 求证:四面体 $ABCD$ 四个面均为直角三角形。
  • 记二面角 $A-BD-C$ 的大小为 $\alpha$,直线 $AB$ 和直线 $CD$ 所成的角为 $\beta$,直线 $AB$ 和平面 $BCD$ 所成的角为 $\gamma$。试探究 $\sin\gamma$ 与 $\sin\alpha$ 和 $\sin\beta$ 之间的关系,然后证明你的结论。

5-a


  1. 笔者注:该定理在部分新高考地区有所考察
Last modification:June 12th, 2021 at 06:42 pm
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