二甲基 - 函数
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items: 提问的智慧
items: 一些奇怪的数学题
items: 数列

提问的智慧
type: item
date: 2021-11-16T00:56:13+00:00
description: # 提问的智慧 [![PRs Welcome](https://img.shields.io/badge/PRs-welcome-brightgreen.svg?style=flat-square)](https://github.com/ryanhanwu/How-To-Ask-Questions-The-Smart-Way/pulls) **How To Ask Questions The Smart Way** Copyright © 2001,2006,2014 Eric S. Raymond, Rick Moen 本指南英文版版权为 Eric S. Raymond, Rick Moen 所有。 原文网址：[http://www.catb.org/~esr/faqs/smart-questions.html](http://www.catb.org/~esr/faqs/smart-questions.html) Copyleft 2001 by D.H.Grand(nOBODY/Ginux), 2010 by Gasolin, 2015 by Ryan Wu 本中文指南是基于原文 3.10 版以及 2010 年由 [Gasolin](https://github.com/gasolin) 所翻译版本的最新翻译； 协助指出翻译问题，**请[发 issue](https://github.com/ryanhanwu/How-To-Ask-Questions-The-Smart-Way/issues/new)，或直接[发 pull request](https://github.com/ryanhanwu/How-To-Ask-Questions-The-Smart-Way/compare) 给我。** 本文另有[繁體中文版](README.md)。 ## [原文版本历史](history.md) ## 目录 * [声明](#声明) * [简介](#简介) * [在提问之前](#在提问之前) * [当你提问时](#当你提问时) * [慎选提问的论坛](#慎选提问的论坛) * [Stack Overflow](#stack-overflow) * [网站和 IRC 论坛](#网站和-irc-论坛) * [第二步，使用项目邮件列表](#第二步使用项目邮件列表) * [使用有意义且描述明确的标题](#使用有意义且描述明确的标题) * [使问题容易回复](#使问题容易回复) * [使用清晰、正确、精准且合乎语法的语句](#使用清晰、正确、精准且合乎语法的语句) * [使用易于读取且标准的文件格式发送问题](#使用易于读取且标准的文件格式发送问题) * [精确地描述问题并言之有物](#精确地描述问题并言之有物) * [话不在多而在精](#话不在多而在精) * [别动辄声称找到 Bug](#别动辄声称找到-bug) * [低声下气不能代替你的功课](#低声下气不能代替你的功课) * [描述问题症状而非你的猜测](#描述问题症状而非你的猜测) * [按发生时间先后列出问题症状](#按发生时间先后列出问题症状) * [描述目标而不是过程](#描述目标而不是过程) * [别要求使用私人电邮回复](#别要求使用私人电邮回复) * [清楚明确的表达你的问题以及需求](#清楚明确的表达你的问题以及需求) * [询问有关代码的问题时](#询问有关代码的问题时) * [别把自己家庭作业的问题贴上来](#别把自己家庭作业的问题贴上来) * [去掉无意义的提问句](#去掉无意义的提问句) * [即使你很急也不要在标题写紧急](#即使你很急也不要在标题写紧急) * [礼多人不怪，而且有时还很有帮助](#礼多人不怪而且有时还很有帮助) * [问题解决后，加个简短的补充说明](#问题解决后加个简短的补充说明) * [如何解读答案](#如何解读答案) * [RTFM 和 STFW：如何知道你已完全搞砸了](#rtfm-和-stfw如何知道你已完全搞砸了) * [如果还是搞不懂](#如果还是搞不懂) * [处理无礼的回应](#处理无礼的回应) * [如何避免扮演失败者](#如何避免扮演失败者) * [不该问的问题](#不该问的问题) * [好问题与蠢问题](#好问题与蠢问题) * [如果得不到回答](#如果得不到回答) * [如何更好地回答问题](#如何更好地回答问题) * [相关资源](#相关资源) * [鸣谢](#鸣谢) ## 声明 许多项目在他们的使用协助/说明网页中链接了本指南，这么做很好，我们也鼓励大家都这么做。但如果你是负责管理这个项目网页的人，请在超链接附近的显著位置上注明： **本指南不提供此项目的实际支持服务！** 我们已经深刻领教到少了上述声明所…

一些奇怪的数学题
type: item
date: 2021-06-12T10:03:00+00:00
description: 导数例一已知函数 $f(x)=x \sin x+2 \cos x+a x^{2}$，记 $f(x)$ 的导函数为 $f'(x)$，并定义$$ \max \left\{a, b\right\}=\begin{cases}a &a\gt b\\b &a\leq b\end{cases} $$当 $a=0$ 时，求证： $f(x)$ 在 $[-\pi,\pi]$ 有且只有两个零点。$\forall x_{1}, x_{2} \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right], \quad x_{1} \neq x_{2}, \cfrac{f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)}{x_{1}-x_{2}}\lt\max \left\{f^{\prime}\left(x_{1}\right), f^{\prime}\left(x_{2}\right)\right\}$，试求 $a$ 的范围。[collapse status="false" title="解析"]第一问考察零点存在性定理及其推论，所以直接代入求导即可。第二问本意为考察拉格朗日中值定理1，但是可以使用定积分的集合意义绕过。[/collapse][collapse status="false" title="第一问参考答案"]当$a=0$时，$f'(x)=x\cos(x)-\sin(x)$，$f''(x)=-x\sin(x)$，$\because x \in [-\pi,\pi]$$\therefore f''(x)\leq 0$$\therefore f'(x)\swarrow$所以$f(x)$的增减性如下表。$x$$(-\infty,0)$$(0,+\infty)$$f'(x)$$+$$-$$f(x)$$\nearrow$$\searrow$$\because f(0)=2 \gt0 ,f(\pi)=f(-\pi)=-2\lt0$$\therefore \exists x_0 \in (-\pi,0),x_1 \in (0,\pi),s.t. f(x_0)=f(x_1)=0\square$[scode type="blue"]QED 是拉丁词组「Quod Erat Demonstrandum」（这就是所要证明的）的缩写，代表证明完毕。现在的 QED 符号通常是$\square$或者$\blacksquare$，也可书写为「Q.E.D」。[/scode][/collapse][collapse status="false" title="第二问参考答案（定积分做法）"]$f(x)=x\sin x+2\cos x+ax^2$$f'(x)=x\cos x-\sin x+2ax$$f''(x)=-x\sin x+2a$不妨设$x_1\gt x_2$。当$f'(x)\searrow$时。$\because f(x_1)-f(x_2)=\int^{x_2}_{x_1}f'(x)\rm{dx}\lt f'(x_2)\cdot (x_1-x_2)$$\therefore \cfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}\lt f'(x_1)$$\because f'(x)\searrow,x_1\gt x_2$$\therefore \max\left\{f'(x_1),f'(x_2)\right\}=f'(x_1)$$\therefore\cfrac{f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)}{x_{1}-x_{2}}\lt\max \left\{f^{\prime}\left(x_{1}\right), f^{\prime}\left(x_{2}\right)\right\}\square$此时，$f''(x)=-x\sin x+2a\lt0\Rightarrow a\in(-\infty,0]$。当$f'(x)$先增后减时。令$f'(x_1)=f'(x_2)$。此时$f(x_1)-f(x_2)=\int^{x_2}_{x_1}f'(x)\rm{dx}\geq f'(x_2)\cdot (x_1-x_2)$，与题设矛盾，故舍去。当$f'(x)\nearrow$时。$\because f(x_1)-f(x_2)=\int^{x_2}_{x_1}f'(x)\rm{dx}\lt f'(x_1)\cdot (x_1-x_2)$$\therefore \cfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}\lt f'(x_1)$$\because f'(x)\nearrow,x_1\gt x_2$$\therefore \max\left\{f'(x_1),f'(x_2)\right\…

数列
type: item
date: 2020-03-30T03:24:53+00:00
description: 定义数列按照一定顺序排列的一列数称为数列。数列的一般形式可以是$a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n,\cdots$，简记为$\left\{a_n\right\}$。数列按照数列的项数可以分为有穷数列（项数有限的数列）和无穷数列（项数无限的数列）。数列亦可以按照项与项的关系分为递增数列、递减数列、摆动数列、常数数列。项数列中的每一个数称为这个数列的项。第一项通常称为首项。排在第$n$位的数称为$a_n$数列的表示方法列举法把数列的每一项列举出来的表示数列的方法是列举法。以下为示例。$$ 3,3.1,3.141,3.1415 $$通项公式法用形如$a_n=f(n)$的方法表示数列的方法是通项公式法。以下为示例。$$ a_n=n^2 $$数列的函数性质数列的单调性若$\forall n\in \mathbb{N}^* a_{n+1}\gt a_n$，则$\left\{a_n\right\}$是递增数列。若$\forall n\in \mathbb{N}^* a_{n+1}\lt a_n$，则$\left\{a_n\right\}$是递减数列。若$\forall n\in \mathbb{N}^* a_{n+1}= a_n$，则$\left\{a_n\right\}$是常数数列。常见问题区别$a_n$和$\left\{a_n\right\}$。$a_n$是指数列的第$n$项。$\left\{a_n\right\}$是指数列。数列和数集的区别。集合中的元素具有确定性，无序性和互异性，而数列中的数是按一定次序排列的，同一个数在数列中可以重复出现。次序对于数列来说是十分重要的，有几个不同的数，由于它们的排列次序不同，构成的数列就不同。